1.

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC là (ABC)

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}\Rightarrow\widehat{SCA}\approx37^045'\)

b.

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABC\right)\\SB=\left(SBC\right)\cap\left(SAB\right)\\AB=\left(ABC\right)\cap\left(SAB\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa (SBC) và (ABC)

\(tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SBA}=60^0\)

c.

Trong mp (SAB), từ A kẻ \(AH\perp SB\)

Mà \(BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH\)

\(\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

2.

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AB\) là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa SB là (ABCD)

\(tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=3\Rightarrow\widehat{SBA}\approx71^034'\)

b.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABCD\right)\\SB=\left(SAB\right)\cap\left(SBC\right)\\AB=\left(SAB\right)\cap\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa (SBC) và (ABCD) (đã tính ở câu a)

c.

Từ A kẻ \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{3a\sqrt{10}}{10}\)

Trong mp (SAC), từ A kẻ \(AD\perp SC\) (D thuộc SC) (1)

Trong mp (ABC), qua A kẻ đường thẳng vuông góc AC cắt BC kéo dài tại E

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp AE\\AE\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AE\perp\left(SAC\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE\perp AE\\AE\perp SC\left(2\right)\end{matrix}\right.\) 

(1);(2) \(\Rightarrow SC\perp\left(ADE\right)\)

Mà \(SC=\left(SAC\right)\cap\left(SBC\right)\Rightarrow\widehat{ADE}\) là góc giữa (SAC) và (SBC)

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2a\)

Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AC^2}\Rightarrow AD=\dfrac{2a\sqrt{33}}{11}\)

\(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AE^2}\Rightarrow AE=\dfrac{AB.AC}{\sqrt{AC^2-AB^2}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{ADE}=\dfrac{AE}{AD}=...\)

a: AC vuông góc SB

AC vuông góc BC

=>AC vuông (SBC)

b: BH vuông góc SC

BH vuông góc AC

=>BH vuông góc (SAC)

=>BH vuông góc SA

c: (SA;ABC)=(AS;SB)=góc ASB

\(BA=\sqrt{CB^2+CA^2}=a\sqrt{3}\)

\(SA=\sqrt{SB^2+BA^2}=a\sqrt{7}\)

sin ASB=AB/SA=căn 3/căn 7

=>góc ASB=41 độ

(SA;(SBC))=(SA;SC)=góc ASC

\(SC=\sqrt{\left(2a\right)^2+a^2}=a\sqrt{5}\)

Vì SC^2+CA^2=SA^2

nên ΔSAC vuông tại C 

=>sin ASC=AC/SA=căn 2/căn 7

=>góc ASC=32 độ

\(SB=\sqrt{\left(a\sqrt{3}\right)^2+a^2}=2a\)

\(SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=a\sqrt{5}\)

Vì SB^2+BC^2=SC^2

nên ΔSBC vuông tại B

(SBC;ABC)=(SB;BA)=góc SBA=60 độ